映射的定义
定义:X,Y为非空集合，存在法则f，对X中每个元素，按法则f，在Y中有唯一元素与之对应，f为从X到Y的映射
f:$X\mapsto Y$
X被称为原像,Y被称为像
- X是定义域 记作$D_{f}$
- $R_f$是值域
$$R_{f} = \{ f(x) \mid x \in D_{f} \}$$
$$R_f \in Y$$
映射三要素
- $D_f$=x , $R_f \in Y$ , f
- X的像Y是唯一的,Y的原像不一定是唯一的.
- $R_f$是Y的子集,$R_f \in Y$
例题:f:R->R , $\forall x \in R$ , $f(x) \in x^2$,$R_f=\{ y\| y\ge 0\}$, $R_f \in R$
当x=0时,f(0)=0 当y=4时,$x=\pm 2$
满射,单射,一一映射
满射:$R_f=Y$
单射:$x_1 \neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2)$
一一映射:既满足单射,又满足满射
逆映射
f:X->Y 必须是单射 对$\forall y \in R_f$,有唯一的$x \in X,f(x)=y$
对于f:$X\mapsto R_f$, 逆映射g:$R_f \mapsto X$, 记作$f^-1$,$D_{f_-1}=R_f$,$R_{f_-1}=X$
直白的说就是把原来的值域作为定义域,把原来的定义域作为值域,必须满足单射,如果不满足单射,交换之后就会存在一个x对应两个y的情况.
复合映射
对g:$X \mapsto Y_1$ , f:$Y_2\mapsto Z$ 复合函数:$f \circ g:X\mapsto Z$
$f \circ g(x)=f[g(x)]$ , g的值域必须包含在f的定义域内$R_g \in D_f$
例题:g(x)=sin(x) f(u)=$\sqrt{1-u^2}$
$g:R\mapsto[-1,1]$,f(g(x))=f(sin(x))=$\sqrt{1-sin^{2}x}$
