函数

函数:数集$D \in R$,$f:D \to R$,y=f(x),$x \in D$.
x是自变量,y是因变量,$D_f$是定义域,$R_f$是值域$,R_f=\{y|y=f(x),x\in D\}$

分段函数

下面是符号函数 \(y = \operatorname{sgn}(x)\) 的分段表示：

$$ y = \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases} $$

sgn既是sign function的缩写
符号函数的公式:x=sgn(x)*|x|

取整函数

[x]:取不超过x的最大整数
[3.3]取3,[3.8]取3,[-1.1]取-2,[-1.9]取-2,也就是不管正负,在数轴上取向左的数.

函数的有界性

函数的上界和下界

f(x)定义域或D,$x\in D,\exists k_1,\forall x \in X ,f(x)\le k_1$
$k_1$就是这个函数的上界,不唯一
下界同理可得,也不唯一.

函数有界的定义

$\exists M > 0,|f(x)|\le M$ 函数就为有界
M也并不唯一.

无界的定义

$\forall M > 0,\exists x_1 \in X$,使$|f(x_1)|>M$,就是无界

结论

f(x)在x上有界$\iff$f(x)在x上有上界,也有下界
不管是上界,下界,有界,无界,都要在确定的定义域判断.研究的是函数的一段.

函数的单调性

定义域D,$I\in D$,$x_1,x_2\in I$
$x_1<x_2,f(x1)<f(x2)$函数是单调递增的
$x_1<x_2,f(x1)<f(x2)$函数是单调递减的
研究函数的单调性也需要在确定的定义域,判断某一段的单调性.
类似$y=x^2$,在$[0,+\infty )$单调递增,在$(-\infty ,0]$单调递减
这里的0这个点取不取都不影响这个区间的单调性.并不重要.

函数的奇偶性

定义域D一定是关于原点对称的,否则可以直接不用往下判断了
$\forall x\in D$,$f(-x)=f(x)$为偶函数,关于y轴对称
$\forall x\in D$,$f(-x)=-f(x)$为奇函数,关于原点对称

函数的周期性

$\exists e>0$,$f(x+e)=f(x)$,e就是周期
y=sin(x),y=cos(x),以2π为周期
y=tan(x),y=cot(x),以π为周期
并非每个周期函数都有最小周期,例如狄利克雷函数

狄利克雷函数：

因为f(x+0.1)=f(x),或者f(x+0.00001)=f(x),所以无法找到最小周期.

反函数

$f:D\mapsto f(D)$单射,$f^{-1}:f(D)\mapsto D$
$\forall y\in f(D)$,有唯一的$x\in D$,f(x)=y
$f_1(y)=x$

• 反函数以y=x这条线对称
• 判断是否是函数,用竖线法则判断,任意画一条线,如果一个x对应两个y,那么就不是函数.
• 判断一个函数是否存在反函数,用横线法则,任意画一条平行于x轴的直线,如果有两个x可以对应1个y,那么就不存在反函数,否则就存在

y=2x-3,2x=y+3,$x=\frac{y+3}{2}$
y=f(x),x=$f^{-1}(y)$
最后的反函数也就是$y=\frac{x+3}{2}$
在反函数这里,原本的函数不叫原函数,叫直接函数

复合函数

y=f[g(x)],y=f(u),u=g(x)
y=f(u),定义域为$D_f$,u=g(x)的定义域为$D_g$
g的值域$R_g$包含于f的定义域$D_f$,$R_g\in D_f$

函数的运算

f(x),g(x),.$D_f , D_g$,$D_f\cap D_g\neq \emptyset$,$D_f\cap D_g =D$

1. $(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)$,$x\in D$
2. $(f\cdot g)$(x)=f(x)g(x)
3. $(\frac{f}{g}) (x)=\frac{f(x)}{g(x)}$,$g(x)\neq 0$,$x\in D $ $\backslash$ $\{x|g(x)=0\}$

例题:f(x)定义域(-e,e),存在偶函数g(x),奇函数h(x),使f(x)=g(x)+h(x)
f(-x)=g(x)-h(x)
2g(x)=f(x)+f(-x),g(x)=$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
f(x)-f(-x)=2h(x),h(x)=$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$